質問： "new me" とは、どういう意味ですか？
回答：「新しい私」という意味です。
詳しくは以下をご覧ください。
1. 解説
「新しい私」とは、「心境・外見・特徴などの変化により新しくなった私」のことです。
何かの出来事を経て精神的に成長したとか髪型を変えて心機一転したなどで「自分が変わった」と感じ、以前の私とは違う今の私という意味で「新しい私」と言いたいときに "new me" を用います。
2. "new I" か "new me" か？
"me" は「私」を意味する代名詞 "I" の目的格です。 なので、"me" は目的語として使われます。 主語として使われるのは "I" です。
そこで疑問が浮かびます。 "new me" は目的語としてのみ使われ、主語として使うときは "new I" なのでは？
心配ご無用です。 "new me" は主語としても 使われます。 次の例文で "new me" はいずれも主語です。
Soon this new me will be going out into the world on a journey of self-discovery.
この「新しい私」は間もなく、自分を探すため世界の中に出ていくだろう。
A new me will certainly cause a greater impact to the society around me.
「新しい私」は、私を取り巻く社会に今以上に大きな影響を及ぼすに違いない。
Ten years from now, The New Me will be The Old Me because I will never stop growing.
今から１０年後には、この「新しい私」も「古い私」になっている。 私の成長は決して止まらないからだ。
上記の例文から分かるように、"new me" は可算の（数えられる）普通名詞として扱われ、状況に応じて冠詞や指示詞が付きます。
3. 類似表現
3.1. new＋代名詞の目的格
"new me" と同様に次の表現も可能です。
- new you ・・・ 新しいあなた
- new her ・・・ 新しい彼女
- new him ・・・ 新しい彼
- new them ・・・ 新しい彼ら
Can Michael accept the new her?
マイケルは「新しい（新しくなった）彼女」を受け入れられるでしょうか？
This new him will have no emotion about killing.
この「新しい彼」は何の感情も抱かずに人を殺すだろう。
複数も単数扱い
「new＋複数の代名詞」も単数扱いです。 次の例文で単数名詞に用いられる不定冠詞 "a/an" が複数形の代名詞 "them" に用いられているのに注目。
51% are considering reducing high calorie or high fat foods on their way to a 'new them'.
（アンケートで）５１％の人が、高カロリーや高脂肪の食べ物（の摂取量）を減らして「新しい彼ら」への道を進むことを検討している（と回答した）。
＃ ５１％の人がダイエットで痩せて「新しい自分」になることを検討している。 そんなアンケート結果でした。
3.2. old ＋代名詞の目的格
「new ＋代名詞の目的格」ならぬ「old ＋代名詞の目的格」も可能です。
'The new you is really something,' I said quietly. 'Thank you,' she said softly. 'And the new me, broken up with old you, and not sleeping in the same bed as the new you, needs to rent the guest bedroom to sleep in.
「新しい君は素晴らしいよ」と私は静かに言った。 すると彼女はそっと言った。「ありがとう。 古いあなたと別れた新しい私は、新しいあなたと同じベッドでは眠らないので、来客用の寝室を貸りる必要があるわ」
ご確認いただけただろうか？ 上の用例で "new me" と "new you" に混じって "old you" が何食わぬ顔で潜んでいる。
"old you" だけでなく、"old me" や "old him"、"old us" なども可能です。
3.3. 形容詞＋代名詞の目的格
実のところ、"old" や "new" に限らず「形容詞＋代名詞の目的格＝普通名詞」が可能です。
He meets an evil him.
彼は邪悪な彼と出会う。
＃「邪悪な彼」とは「彼」の分身とか一部とか、そんな感じ。
A happier you/me means a happier us.
いっそう幸せな「あなた/私」は、いっそう幸せな「私たち」を意味する。
＃「あなた/私」がいっそう幸せなら、「私たち」もいっそう幸せ。
"us" は複数の代名詞だが、「形容詞＋代名詞の目的格」では単数扱い。3.4. 形容詞の比較級＋代名詞の目的格
「形容詞の比較級＋代名詞の目的格＝普通名詞」という用法もあります。
例えば "better you"、"nicer her"、"nicer him"、"newer me"、"newer them" などが普通名詞として扱われるわけです。
これは次のように "more" を用いる比較級でも可能です：
Take the first step in being a more tolerant you!
この最初のステップを実践し、もっと寛容なあなたになりましょう！