「イブ」は "eve"
クリスマス・イブの「イブ」は、"eve" という英語をカタカナで表記したものです。 ちなみに「クリスマス」は "Christmas"。
"eve" の意味
"eve" は昔は「夜（日暮れから就寝までの時間）」という意味で使われていましたが、現代では 「特別な日の前日」や「特別な日の前日の夜」という意味で使われます。 「特別な日」とは祝日などのことです。
"eve" はクリスマス以外にも使われます。 例えば、「大晦日」のことを英語で "New Year's eve" と言います。 「元旦（New Year）の前日」が大晦日だというわけです。
"New Year" は "Year（年）" という言葉が使われていますが、その意味は「新しい年の最初の日（あるいは、年が明けてからの何日間か）」という意味です。 "New Year" は常に大文字で始まります。
「イブ」の意味
したがって「クリスマス・イブ」は、「クリスマスという特別な日の前日」あるいは「クリスマスという特別な日の前日の夜」という意味になります。
クリスマス関連の言葉ということでアダムとイブの「イブ」が関係しているのかと思う人もいるでしょうけれど、アダムとイブの「イブ」とクリスマス・イブの「イブ」は語源が異なる別の言葉です。