1. 英語に戻すと
クリスマス・イブの「イブ」を英語に戻すと "eve" です。
ちなみに「クリスマス」を英語に戻すと "Christmas"。
2. "eve" の意味
"eve" は昔は「夜（日暮れから就寝までの時間）」という意味でした。 ですが、現代では 「特別な日の前日」や「特別な日の前日の夜」という意味で使われます。
「特別な日」とは祝日などのことです。
"eve" はクリスマス以外にも使われます。 例えば、「大晦日」は英語で "New Year's eve"。「元旦（New Year）の前日」が大晦日というわけです。
"New Year" の "Year（年）" は日本語の「新年」と同じく、「１年」よりも主に「新しい年の最初の日（あるいは、年が明けてからの何日間か）」の意味で用いられます。 "New Year" は常に大文字で始まります。
3.「クリスマス・イブ」の意味
したがって「クリスマス・イブ」は、「クリスマスという特別な日の前日」や「クリスマスという特別な日の前日の夜」という意味です。
4. アダムとイブの「イブ」と関係ある？
クリスマス・イブの「イブ（eve）」とアダムとイブの「イブ（Eve）」は、語源が異なる別の言葉です。
- eve ・・・ 「夜」を意味する中世英語 "even" が語源
- Eve ・・・ 「生きている存在」を意味するヘブライ語 "Hawwah" が語源
アダムとイブの "Eve" は人名（固有名詞）なので常に（文中でも）大文字で始まります。
クリスマス・イブの "eve" は普通名詞なので、文の先頭や見出しなど特別な場合を除き小文字で始まります。