質問： 映画や歌のタイトルに使われるフレーズ「Come on a my house」とは、どういう意味ですか？
回答： 「ねえ、私の家に来て」という意味と思われますが、違うかもしれません。
詳しくは以下をご覧ください。
1. 読み方
"Come on a my house" は「カモナ・マイハウス」と読みます。
"on a" を続けて発音すると「オナ（ona）」。 「カム（come）」と「オナ（ona）」を続けて発音すると「カモナ」です。
2. 解説
2.1. "a"
"on a my house" において "a" は不定冠詞ではあり得ません。 １つの名詞に "my" と "a" を併用できない(*) からです。
(*) "a house" か "my house" ならＯＫ。 "a my houose" は無理。
したがって、"Come on a my house" の "a" は "Come on to my house" の前置詞 "to" が訛った語だと思われます。
英語の方言や口語では "to" が "a" と発音されます。
"to" が "a" になる例①
次の用例は、米国南部を舞台とする小説『That old ace in the hole』の一文。
He's one a the well-offest men in Woolybucket County, now, him, that used a work at the carbon-black plant.
"useda work" の "a" が "to" です。 「以前は～していた」を意味する慣用表現"used to～" の "to" が "a" に変わって "used a" です。
奴も以前は工場で働いていたってのに、今じゃウリーバケット郡の金持ちの一人だ。
"one a the well-offest men" の "a" も正体は前置詞ですが、こちらは "of" が訛ったものです。
"to" が "a" になる例②
次はネットで見つけた用例です。
went to（～へ行った） → went a
I went a the local cinema to see a film.
映画を観に地元の映画館に行った。
次の２つの例では、"a" に変化した "to" が手前の語とくっついています。
went to → wenta
In New Yawk, man I went everywhere. I went ta Harlem. I wenta Brooklyn.
ニューヨークのあらゆる場所へ行ったよ。 ハーレムにも行ったし、ブルックリンにも行った。
want to（～したい） → wanta
I wanta sing.
歌いたい。
2.2. "come on"
"come on" ≠ 「おいで」
"Come on a my house" が "Come on to my house" なら、その意味は「ウチにおいで」だろう。 そんな風に反射的に思ってしまいます。
ですが実のところ、英語の辞書に "come on" の意味として「おいで」は記載されていません。
"on" が不要
単に「ウチにおいで」と言う場合、"Come to my house." あるいは "Come over to my house." が使われます。 "on" が不要なのです。
じゃあ意味は？
"come on" には誰かを急かしたり行動を促したりする意味があります。「急いで！」や「ねえ、お願いよ」という感じです。
"come on" をそうした意味に捉えるなら、"Come on a (to) my house." を「早くウチへ」とか「ねえお願い。ウチへ」という意味に理解できるかもしれません。
"come on to" に「（性的な意味で）迫る」という意味があります。 ですが、"Come on a (to) my house" にこれを当てはめると「私の家に性的に迫りなさい」で、意味が通じません。