安室奈美恵さんが歌う「Just You and I」に出てくる英語のフレーズについて解説します。
"Just You and I"
「あなたと私だけで」という意味です。 「あなたと私だけで、他には何の要素も関わらせずに」という感じの意味でしょう。
この表現に出てくる "Just" は、「きっかり」とか「ちょうどぴったりに」とか「シンプルに」という意味です。
"Half of me just disappeared"
「私の半分が今しがた消えてしまった」という意味です。 "half of me" は「私の半分」という意味で、"just" は「たった今」という意味です。"disappeared" は "disappear（消える）" という動詞の過去形です。
この歌が恋人と別れたという話であるなら、この「半分」というのは恋人のことを指すのでしょう。 「私の半身」と解釈しても良いかもしれません。
"I believe in love"
「私は愛を信じている」という意味です。 もっと具体的に言えば、「私は愛の価値を信じている」とか「私は愛が実在することを信じている」といった意味になります。
"believe" は「信じる」という意味の動詞ですが、この "believe" が "in" と組み合わさって "believe in" になると、「～が実在すると信じる」や「～に価値（良さ）があると信じる」といった意味を持つようになります。"Days of delight"
「喜びの日々」という意味です。 "day（日）" の複数形である "days" は「日々」という意味で、 "delight" は「喜び」という意味です。
"What we got is true love"
「私たちが持っていたのは真実の愛だ」という意味です。
この文は、学校英語で習うＳＶＣの文型です。 Ｓ（主語）に当たるのが「私たちが持っていたもの（What we got）」で、Ｃ（補語）に当たるのが「真実の愛（true love）」です。
ＳＶＣの文型ではＳ＝Ｃという関係になるので、「私たちが持っていたもの＝真実の愛」ということになります。 「＝」に当たるのが "is" です。
"what" について
"What we got" の "what" は疑問視ではなく関係代名詞で、「...なもの」という意味です。 "What we got" で「私たちが持っていたもの」という意味になります。
"We always find a way"
「私たちはいつも道（方法）を見つける」という意味です。 「私たちは何かの問題が生じても、いつもなんとかする」という意味かもしれません。
"way" には「道」という意味と「方法」という意味があります。 「道」という意味にしても、「人生の道」のように比喩的な意味で使われることが少なくありません。
"Shining so bright"
「たいそう明るく輝いて」という意味です。 "shining" は "shine（輝く）" という動詞の現在分詞です。 "bright" には「明るい」という意味の形容詞もありますが、ここでは「明るく」という意味の副詞として用いられています。 "so" には色々な意味がありますが、ここでは「非常に・大変・たいそう」という意味です。
"'Cause you're the only one, you're the only one I want"
「（私には）あなたしかいない、私が欲しいのはあなただけだから」という意味です。
"'Cause"
"'Cause" は "Because（～だから）" と同じ意味です。 実際の会話において "Because（ビコーズ）" の「ビ」がはしょられることがあるのを反映した綴りです。
"you're the only one"
"you're the only one" を直訳すると「あなたが唯一の人である」という意味になります。
"you're" は "you are" の短縮形です。 また、ここの "one" は「１」という意味ではなく「（単数の）人・物」という意味なので、"the only one" で「唯一の人」あるいは「唯一の物」という意味になります。
したがって、"you're the only one" は「あなたが唯一の人である」という意味になります。
"you're the only one I want"
"you're the only one I want" は「あなたは唯一、私が望む人」という意味になります。 「私が欲しいのはあなただけだ」と言っているわけです。
"the only one I want" では、"I want" の前に関係代名詞の "that" が省略されています。 "the only one that I want" というのが本来の文で、"...that I want（私が欲しい...）" が "the only one（唯一のもの）" を修飾しています。
"'Cause you're the only one, you're the only one I want"
"'Cause you're the only one, you're the only one I want" という表現では、"you're the only one I want" の前に "you're the only one" という同じような表現がありますが、この "you're the only one" の後ろには "I want" が省略されていると考えられます。
したがって、"'Cause you're the only one, you're the only one I want（あなただけだから、私がほしいのはあなただけ）" の本来の形は次のようなものでしょう： "'Cause you're the only one I want, 'cause you're the only one I want（私が欲しいのはあなただけだから、私が欲しいのはあなただけだから）"