"Let's joy" の意味
"Let's joy（レッツ・ジョイ）" は「楽しみましょう」という意味です。
解説
"Let's" は「～しましょう」という意味です。 "Let's" は "let us" の短縮形です。
"joy" には、「歓喜・喜び・幸福」という名詞の意味と、「喜ぶ・楽しむ」という動詞の意味があります。
"Let's" の後ろには動詞しか来れないので、"Let's joy" の "joy" は動詞です。
"Let's joy" か "Let's enjoy" か
動詞のほうの "joy" と同様の意味を持つ語に "enjoy（エンジョイ）" があります。
以下で、"Let's" の後に続く動詞として "joy" と "enjoy" のどちらがふさわしいかを考えてみましょう。
"enjoy" 有利
まず、動詞の "joy" は文語（古語）的です。 したがって、動詞としての "joy" を使うなら "enjoy" を使うほうが一般的でしょう。
"joy" 有利
しかしながら、「喜ぶ」という意味の "joy" が自動詞（目的語が不要）であるのに対して、"enjoy" は他動詞であり目的語が必須です。
したがって、"Let's enjoy" は必要な目的語が欠けている不完全な文（＊）で、その点からすれば "Let's joy" のほうが文として正しいと思われます。
（＊） "enjoy" を用いて「楽しむ」と言いたければ、"Let's enjoy ourselves." という具合に "enjoy" の目的語として "ourselves" を補う。
やっぱり "enjoy" ？
ところが、口語的な表現では "enjoy" に自動詞としての意味も認められています。 つまり、"enjoy" の目的語が存在しなくてもＯＫなのです。
"enjoy" の自動詞としての用法は正式に認められつつありますが、辞書によって扱いが異なり、自動詞としての用法を記載している辞書もあれば、記載していない辞書や、口語の用法として記載している辞書もあります。
結論
検索で用例を調べても、"Let's joy" より "Let's enjoy" のほうが使用例が多いようなので、"Let's joy" よりも "Let's enjoy" のほうが一般的に受け入れられていると思われます。