「ノーサンクス」は "No, thanks."
「ノーサンクス」は、英語の "No, thanks." をカタカナで表記したものです。
"No, thanks." の意味
"No, thanks." は、「いいえ結構です。お気遣いありがとう」という意味です。 「～をしてあげようか？」と尋ねられて、その厚意を断るときの表現です。解説
「ノーサンクス」というカタカナ語を見ると、「感謝（サンクス）が無い（ノー）」という意味なのかと思ってしまいますが、そうではありません。
"No, thanks." と "No" の後ろにカンマ（,）が入っていることからもわかるように、「ノー」と「サンクス」は意味的に隔てられています。
"No" に対応するのが「いいえ結構です」で、"thanks" に対応するのが「（お気遣い）ありがとう」です。
"thanks" は "thank（感謝）" という名詞の複数形です（名詞の "thank" は一般的に複数形の "thanks" で用いられます）。 "Thanks." という名詞だけで「ありがとう」を意味する表現として使われます。
"Thanks." は "Thank you.（サンキュー）" とほぼ同じ意味です。 "No, thank you." は "No, thanks." とほぼ同じ意味です。"No, thanks." のバリエーション
"No, thanks." には次のような変種もあります：上の例文では、"No" の後ろのコンマ（,）が省略されてしまっています。 こうなってしまうと文法的には「感謝が無い」と理解するしかなく、本来の意味と逆の意味になってしまいます。
文法的な構造とは裏腹に現実では "No" と "thanks" が立て続けに発音されるために、英語を母国語とする人の間でも "No" と "thanks" の間の文法的な隔たりが意識されなくなり、ここまでに説明したような "No" と "thanks" の関係を理解しないままに、慣用句として "No thanks." を使う人が多いのではないかと思います。
"Thanks but no thanks"
上の話とも関連しますが、"Thanks but no thanks" という慣用表現があります。 "Thanks but no thanks" は、上述の説明に基づいて日本語にすると「厚意には感謝する。 結構です。 厚意には感謝する」となりますが、実際には「厚意には感謝するが結構です」という意味で使われています。
"Thanks but no thanks" とは次のような段階を経て生まれたのではないかと考えられます：- "No, thanks" という区切られた２語が "No thanks" という１続きの表現だと認識されるようになる。
- それによって「結構です。しかし厚意には感謝する」というものだった "No, thanks" の意味が「結構です」へと変質する。
この際の類推は恐らく次のようなもの： "No thanks" → 感謝しない → ありがたくない → 不要です（結構です）
- "No thanks" における "No" と "thanks" の関係について誤解している人が、"No thanks" という表現が「ありがたくない」という言い回しに由来する表現なのだと誤解する。
- 「他人の厚意を断るときに「ありがたくない」という気持ちが根底に流れる言い方を用いるのは失礼では？」と考える人が出てくる。
- 「『結構です（No thanks）』の前に謝意（Thanks）を述べておけば失礼度が緩和されるだろう」と思いつく人が出てくる。
- "Thanks but no thanks.（ありがたいが結構だ）" が使われ始める。