「テルミーホワイ」とは
「テルミーホワイ」は "Tell me why." という英語をカタカナで表記したものです。
"Tell me why" の意味
"Tell me why." は「理由を教えてくれ」という意味です。
"Tell me why" の解説
"Tell me～"
"Tell me～" は「～を教えてくれ」という意味です。 命令文です。
"why" ≠「理由」
"Tell me why" の "Tell me" の部分が「教えてくれ」という意味なら、残る "why" が「理由」を意味する名詞なのでしょうか？
そうではありません。
"why" にも「理由」という名詞としての意味はありますが、そのときの "why" は "whys" と複数形で用いられるのが常です。 したがって、単数形で用いられる "why" は名詞ではないと考えられます。
"why" の正体
それでは "Tell me why." の "why" は何なのか？
答えは、関節疑問文の残骸です。
この点に注目して、"why" が用いられる関節疑問の用例を次で見てみましょう。
関節疑問の例
Tell me why you did such a foolish thing.
何故そんな愚かなことをしたのか教えてくれ。
上の例文中の "why you did such a foolish thing" が関節疑問です。
"why you did such a foolish thing" の "why" が、"Tell me why." の "why" に相当します。
"why you did such a foolish thing" の "why" より後が省略されるのは、前後の状況や文脈で "why" の後に続く部分が何であるかが明らかだからです。
前後の状況や文脈を含む用例
次は、前後の状況や文脈を含む用例です：
①I want some explanation here. ②Why you ate your freshly-picked booger in front of the President! ③Tell me why.
①説明してくれ。 ②どうして大統領の目の前で鼻クソをほじって食べたりしたんだ？ ③理由を教えてくれ。
上の用例は３つの文（①～③）から成っていて、３つ目の文が問題の "Tell me why." です。
③の "Tell me why." の後ろには、②の文の "Why" より後ろが省略されています。 その省略を復帰させると次の通り：
Tell me why you ate your freshly-picked booger in front of the President.
ご覧のように、②と全く同じ語句（太字にした部分）が繰り返されます。 それだと効率が悪いので、③"Tell me why." では後続の "you ate your..." が省略されています。
大統領の目の前で鼻クソをほじって食べたりした理由を教えてくれ。
"why" まで省略してしまうと意味の見当を付けにくくなる（"Tell me." だけだと分かり辛い）ので、"why" は残ります。