"My precious one"
「ボクの大切な人」という意味です。
"You're the only flowering heroine"
「キミは花開きつつある唯一のヒロイン」という意味です。
シンデレラになぞらえて「ヒロイン」という言葉を使っているのでしょう。 「花開きつつある」というのは「女性としての魅力を開花させつつある」という意味でしょう。
"I wanna be your sunshine"
「ボクはキミの太陽の光でありたい」という意味です。
「キミにとって太陽の光のような存在でありたい」ということでしょう。"Because your smile has the magic"
「キミの微笑みには魔法があるから」という意味です。
"I wanna always be your sunshine"
「ボクはいつだってキミの太陽の光でありたい」という意味です。
"Always makes me happy！！"
「いつもボクを幸せにしてくれる」という意味です。
この文は主語が省略されていますが、省略されている主語（ボクを幸せにするもの）は「キミ」ではありません。 「キミ（You）」が主語なら、動詞が "makes" ではなく "make" となるからです。
前後の歌詞から察するに、省略されている主語は「Your smile（キミの微笑み）」でしょう。